Abhandlungen Zur Geschichte Der Mathematischen Wissenschaften Mit Einschluss Ihrer Anwendungen
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12.
12.
Falls sich zwei Kreise von aufsen berühren sollten, wird die ihre Zentren verbindende [Gerade] durch eine Berüh- rungsstelle gehen.
(Fig. 12.) Beweis indirekt. Widerspruch gegen I, 20.
Digitized by VjOOQ IC 86 Kreisberührnng; Länge der Sehnen.
13.
Kreis berührt Kreis in nicht mehr als einem Punkte, er möge von innen oder von aufsen berühren.
Beweis indirekt (Fig. 13). Fall 1) B und z/ seien die Berührungs- stellen, H und ® die Zentren, dann geht nach Satz 11 H& durch B und z/, es wäre a...lso BH=H4 und BH + H& = HA — H@, was absurd. — Fall 2) AT müfste im Innern beider Kreise liegen, nach Satz 2, die Kreise also sich schneiden. (Anschauung!) Fig. 18.
14.
Gleiche Sehnen haben vom Zentrum gleichen Abstand, und Sehnen, welche gleichen Abstand vom Zentrum haben, sind gleich.
(Fig. 14.) Beweis durch den Py thagoras.
Der heute übliche Beweis benutzt den sogen. 4. Kongruenzsatz, der bei Euclid fehlt; es ist aber hervorzuheben, dafs der Satz ohne 4. Kongruenz und ohne Pythagoras bewiesen werden kann; wie z.
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13.
Kreis berührt Kreis in nicht mehr als einem Punkte, er möge von innen oder von aufsen berühren.
Beweis indirekt (Fig. 13). Fall 1) B und z/ seien die Berührungs- stellen, H und ® die Zentren, dann geht nach Satz 11 H& durch B und z/, es wäre a...lso BH=H4 und BH + H& = HA — H@, was absurd. — Fall 2) AT müfste im Innern beider Kreise liegen, nach Satz 2, die Kreise also sich schneiden. (Anschauung!) Fig. 18.
14.
Gleiche Sehnen haben vom Zentrum gleichen Abstand, und Sehnen, welche gleichen Abstand vom Zentrum haben, sind gleich.
(Fig. 14.) Beweis durch den Py thagoras.
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