Applicazioni Geometriche Del Calcolo Infinitesimale
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Analogamente si di- mostra che lim r- = 0.
Dividendo pertanto l'espressione trovata di Au per A^ e pas- sando ai limiti si ha 7 ,. Aw du i .^ [dA , dB\ ^AÌ=dF=2^'[-d^+'dih ossia du= 2 AB .
ed il valore di u, ove t vani nell'intervallo {t^y t^) è dato da 1 r*\n IdA , dB\ ^, h c . V . d.
48. Se nella formula precedente si tralasciano i limiti, e invece Digitized by Google — 240 — ài t: dte-^dt SÌ scrive dA e dB, essa diventa cu cu u=^JA.B.(dA. + dB). (1) Sia G il ponto medio del segmento AB. Esse...ndo un punto fisso gualunque, si avrà 20 G = OA + OB, e differenziando 2dG = dA.'\- -{-dB. Quindi, sostituendo^ la formula precedente diventa u = JkB.dC. (2) Si ha (^AB ^ cfB — dA^ da cui c?B = (^A -|- dA^B. Sostituendo nella (i) si ha una terza espressione dell'area w=J(AB.dA+ ~ AB.dABÌ. (3) Le formule precedenti contengono tutte quella finora trovate. In- vero, la retta mobile che descrive l'area u sia l'ordinata MP d'un punto d'una curva. Si avrà OM=a?i, MP=yj; OF = xi-\-yj; quindi dOU^dU = idx; dUF = jdy; e sostituendo nella formola (3), che nel nostro caso diventa w = J [mp.6?M+ -^ MP .dup] si ricava u=ì.ifvax.
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48. Se nella formula precedente si tralasciano i limiti, e invece Digitized by Google — 240 — ài t: dte-^dt SÌ scrive dA e dB, essa diventa cu cu u=^JA.B.(dA. + dB). (1) Sia G il ponto medio del segmento AB. Esse...ndo un punto fisso gualunque, si avrà 20 G = OA + OB, e differenziando 2dG = dA.'\- -{-dB. Quindi, sostituendo^ la formula precedente diventa u = JkB.dC. (2) Si ha (^AB ^ cfB — dA^ da cui c?B = (^A -|- dA^B. Sostituendo nella (i) si ha una terza espressione dell'area w=J(AB.dA+ ~ AB.dABÌ. (3) Le formule precedenti contengono tutte quella finora trovate. In- vero, la retta mobile che descrive l'area u sia l'ordinata MP d'un punto d'una curva. Si avrà OM=a?i, MP=yj; OF = xi-\-yj; quindi dOU^dU = idx; dUF = jdy; e sostituendo nella formola (3), che nel nostro caso diventa w = J [mp.6?M+ -^ MP .dup] si ricava u=ì.ifvax.
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