Kurzgefasste Vorlesungen Über Verschiedene Gebiete Der Höheren Mathematik Mit Berücksichtigung Der Anwendungen
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Dabei wird man vielleicht eine vom Nullpunkt verschiedene Stelle g erreichen, die zwar selber nur von endlich vielen b übertroflFen wird, die jedoch so gelegen ist, dass jeder kleinere Zahlwert von unendlich vielen b über- troflfen wird. Die so gedachte „obere Grenze" g der unendlichen Zahlen- reihe der b bezeichnen wir nach Hadamard (cf. Note pg. 129) durch: (3) g = lim. sup. 6».
» = 00 Liegt auch dieser Fall eines endlichen ^ > nicht vor, so ist schlecht- hin lim. bn^=0, so dass der Nullpunkt... die einzige Häufungsstelle ist.
n SB 00 Den ersten und dritten Fall charakterisieren wir durch ^ = 00 bez.
^ = 0. Als Beispiel betrachte man die Zahlen b, die, je nachdem der Index ungerade oder gerade ist, durch: Convergenzkreis einer Potenzreihe. 129 gegeben sind. Hier wird offenbar lim. snp. b^ =» 7^ während eine zweite Haufungsstelle bei 5 liegt*). "^* Es gilt nun das folgende allgemeine Theorenf**): Die Potenereüie (1) ist unbedingt und gleichmässig canvergent im Innern eines in der 0'Ebene um Zq als Mittdpuhkt gelegten Kreises K vom Badius B, der gleich dem reciproken Werte von g ist, JB = — ; ausserhalb dieses Kreises (sofern R endlich ist) ist die Potenzreihe iiberaU divergent.
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» = 00 Liegt auch dieser Fall eines endlichen ^ > nicht vor, so ist schlecht- hin lim. bn^=0, so dass der Nullpunkt... die einzige Häufungsstelle ist.
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^ = 0. Als Beispiel betrachte man die Zahlen b, die, je nachdem der Index ungerade oder gerade ist, durch: Convergenzkreis einer Potenzreihe. 129 gegeben sind. Hier wird offenbar lim. snp. b^ =» 7^ während eine zweite Haufungsstelle bei 5 liegt*). "^* Es gilt nun das folgende allgemeine Theorenf**): Die Potenereüie (1) ist unbedingt und gleichmässig canvergent im Innern eines in der 0'Ebene um Zq als Mittdpuhkt gelegten Kreises K vom Badius B, der gleich dem reciproken Werte von g ist, JB = — ; ausserhalb dieses Kreises (sofern R endlich ist) ist die Potenzreihe iiberaU divergent.
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