Lehrbuch Der Funktionentheorie 1
Lehrbuch Der Funktionentheorie 1
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Direkte Beluindlung von sin tv. Wir können die durch die Funktion sin w = z definierte Abbildung auch auf rechnerischem Wege sofort bestimmen.
Aus sin (u + vi) = sin u cos v i -f cos u sin v i — i — — sin u - — ^~- + cos u — - 2 y - = x + y i ^' # = sinwcht;, f/ = cosusht', und hieraus ferner: ch*p 8h*r ' sin 2 w cos*u An der Hand dieser Formeln ist es leicht, die Abbildung des Halbstreifens - Ä zu verfolgen. Die Gerade v = v > wird hierdurch in eine Halb- ellipse der oberen Halbebene mit den B...rennpunkten z = 1 , — 1 ver- wandelt, während die Gerade u — u in die obere Hälfte eines Hyperbel- astes mit den gleichen Brennpunkten übergeht. Durch diese beiden Scharen konfokaler Ellipsen und Hyperbeln wird somit die positive Hälfte der #-Ebene ein-eindeutig und konform auf jenen Halb.streifen bezogen.
In ähnlicher Weise wird auch die negative Hälfte der Ebene auf die negative Hälfte des Streifens abgebildet. Und nun entspricht jedem anstoßenden Halbstreifen ein oberes oder ein unteres Halbblatt, welches der im Entstehen begriffenen Riemannschen Fläche längs des gehörigen Teils der reellen Achse anzugliedern ist.
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In ähnlicher Weise wird auch die negative Hälfte der Ebene auf die negative Hälfte des Streifens abgebildet. Und nun entspricht jedem anstoßenden Halbstreifen ein oberes oder ein unteres Halbblatt, welches der im Entstehen begriffenen Riemannschen Fläche längs des gehörigen Teils der reellen Achse anzugliedern ist.
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